符号理論　試験問題（2013年度）

2013年 7月26日

問 1. 最小ハミング距離$d_{min}$ビットの2元符号について、誤り検出および誤り訂正の能力を 示しなさい。

問 2. ハミング符号で、シンドロームにより1ビット誤りを訂正できる仕組みを説明しなさい。 また、$(n,k)$巡回組織符号でバースト誤りを検出できる場合について示しなさい。

問 3. $GF(2)$上の多項式 $x^3 + x + 1$が拡大体$GF(2^3)$の原始多項式になることを説明しなさい。 また、 $x^3 + x + 1$を法とする拡大体$GF(2^3)$の位数と標数を示しなさい。

問 4. 生成多項式を $G(x) = 1 + x + x^3$とする(7,4)巡回組織符号（巡回ハミング符号）について 次の問に答えなさい。

　 (1) 情報ビット[ 1 0 1 1 ] を符号化した符号語を求めなさい。

　 (2) 受信語[ 0 1 0 0 0 1 0 ] の誤りの有無を調べ、誤りがある場合には訂正しなさい。

問 5. (7,4)ハミング符号の検査行列$H$が

$$H = \left[ \begin{array}{rrrrrrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

であるとき、以下の問に答えなさい。

　 (1) 次の情報ビットを符号化しなさい。

　　 (i) [ 1 0 1 0 ]

　　 (ii) [ 0 1 1 1 ]

　 (2) 次の受信語に対する正しい情報ビットを推定しなさい。

　　 (I) [ 1 0 0 1 0 0 1 ]

　　 (II) [ 1 1 0 1 0 1 1 ]