符号理論　試験問題（2014年度）

2014年7月29日

問 1. 2元符号について、誤り検出を$e_d$ビットまで可能にするためには最小ハミング距離をどのようにすればよいか。 また誤り訂正を$e_c$ビットまで可能にするためにはどうか。

問 2. 巡回ハミング符号により誤り検出および訂正ができる理由を説明しなさい。

問 3. $GF(2)$上で既約な多項式 $x^3 + x^2 + 1$が拡大体$GF(2^3)$の原始多項式になることを説明しなさい。 また、 $x^3 + x^2 + 1$を法とする拡大体$GF(2^3)$の位数と標数を示しなさい。

問 4. 生成多項式を $G(x) = x^3 + x^2 + 1$とする(7,4)巡回組織符号（巡回ハミング符号）について 次の問に答えなさい。

　(1) 情報多項式 $I_1(x) = x^3 + x + 1$ を符号化した符号語を求めなさい。

　(2) 受信語多項式 $Y_2(x) = x^5 + x^2 + x$ の誤りの有無を調べ、誤りがある場合には訂正しなさい。

問 5. (7,4)ハミング符号の生成行列$G$が

$$G = \left[ \begin{array}{rrrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ ... ... 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

であるとき、以下の問に答えなさい。

　(1) 次の情報ビットを符号化しなさい。

　　(i) [ 1 0 1 1 ]

　　(ii) [ 0 1 1 1 ]

　(2) 次の受信語に対する正しい情報ビットを推定しなさい。

　　(I) [ 1 0 0 1 0 0 1 ]

　　(II) [ 1 1 0 1 0 1 1 ]