符号理論　試験問題（2015年度）

2015年7月28日

問 1. $GF(11)$の最小の原始根を求めなさい。

問 2. 2元符号の誤り検出・訂正能力について以下の問いに答えなさい。

　(1) 最小ハミング距離が$d_{\min}$ビットの場合の誤り検出能力

　(2) $e_c$ビットの誤りを訂正するために必要な最小ハミング距離

問 3. (7,4)ハミング符号の符号語 $w$$=[~ x_1~ x_2~ x_3~ x_4~ ~ p_1~ p_2~ p_3~ ]$ の情報ビット $x$$=[~ x_1~ x_2~ x_3~ x_4~ ]$、 検査ビット $p$$=[~ p_1~ p_2~ p_3~ ]$ が

$$\left\{ \begin{array}{rcl} p_1 & = & x_1 + x_3 + x_4 \\ p_2 & = & x_2 + x_3 + x_4 \\ p_3 & = & x_1 + x_2 + x_3 \end{array} \right.$$

で与えられるとき、以下の問に答えなさい。

　(1) 次の情報ビットを符号化しなさい。

　　(i) [ 1 0 1 1 ]

　　(ii) [ 0 1 1 1 ]

　(2) 次の受信語に対する正しい情報ビットを推定しなさい。

　　(I) [ 1 0 0 1 1 0 0 ]

　　(II) [ 0 0 1 1 0 1 0 ]

問 4. $GF(2)$上の多項式 $x^3 + x + 1$の根$\alpha$が原始根として巡回群をなすことを示しなさい。
また、 $x^3 + x + 1$を原始多項式とする有限体（ガロア体）の位数と標数を示しなさい。

問 5. 生成多項式を $G(x) = x^3 + x + 1$とする(7,4)巡回組織符号（巡回ハミング符号）について次の問に答えなさい。

　(1) 情報ビット[ 0 1 0 1 ] を符号化した符号語を求めなさい。

　(2) 受信語[ 0 0 1 1 1 1 1 ] の誤りの有無を調べ、誤りがある場合には訂正しなさい。