符号理論（2025年度） 試験問題

高知工科大学 情報学群

2025年 7月 25日

試験の注意

• 不明な点がある場合は、手をあげて申し出てください。
• 解答は指定の解答用紙の解答欄に記入してください。
  解答用紙には答えのみではなく答えに至る過程を必ず記してください。 過程まで正しく記述されているものに限り採点の対象とします。
• 遅刻は 11:00 まで認めます。 11:00 以降（11:50 まで）は退出を認めます（退出後の再入室は認めません）。
• 受験の際は、机上の見やすい場所に「学生証」を置いてください。
  「学生証」を忘れた者は、教務課（事務局）で仮学生証の交付を受けてください。
• 教員が指示したもの以外は、机の上に置いてはいけません（試験に不要なものは、カバン等に入れて床に置くこと）。
  自筆ノート、指定教科書、計算用紙、腕時計もしくは懐中時計（ただし時計や標準電波受信（時刻同期）等以外の機能を有しないものに限る）、筆記用具等のみ持ち込みを認めます。
  それ以外の書籍、印刷・コピーしたものは認めません。
  情報通信機器類の持ち込み・使用は厳禁です。
  携帯電話、スマートウォッチ等は、電源が入っていたり、身に付けているだけでも不正行為とみなされます。
• 不正（持ち込み制限違反、発声、のぞき見、物品授受、他者との情報のやり取り（カンニング行為）、その他、試験に際しての不適切な行為）は厳重に処分します。
  不正行為を行った場合は、2 クォータおよび1 学期に履修したすべての授業科目の単位の認定が取り消されます。

問 1. \( GF(2) \) 上の多項式 \( f(X) = X^4 + X^3 + 1 \) を法とする有限体（ガロア体） \( GF(2^4) \) について、以下の問いに答えなさい。
　　ただし、\( GF(2) \) 上の \( f(X)=0 \) の根を \( \alpha \) とする。

問 2. \( p \) を3以上の素数とするとき、2元符号の誤り検出および訂正能力について以下の問いに答えなさい。

問 3. (12,8)ハミング符号の検査行列 \( H \) が

　　 \( H = \left[ \begin{array}{rrrr rrrrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right] \)

問 4. 8ビットの情報ビットに対して、 符号化率がもっとも高くなるように巡回ハミング符号化したい場合について、 以下の問いに答えなさい。

問 5. 巡回ハミング符号（巡回組織符号）の検査行列 \( H \) が

　　　　 \( H = \left[ \begin{array}{rrrrr rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & h_0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & h_1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & h_2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & h_3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & h_4 \end{array} \right] \)