ディジタル信号処理論 演習問題 12

情報システム工学コース

2005年 7月25日

学籍番号 氏名

1. 法を 5とした場合の$a^j$の剰余（$a^j$ (mod 5)）の値を $a=2,3,4$、$j=1,2,3,4$ について求めなさい。

   $a^j$	1	2	3	4
   2
   3
   4

   
   

2. GF(2)上の多項式 $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ は、 $f(0) = f(1) = 1$ であることから、GF(2)に $f(x)=0$の解（零点）を持たない。 すなわち、 $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ は GF(2)上既約である。

   　$x^3 + x^2 + 1$ の解を $\alpha$ とすると、GF(2) の拡大体が
   

   $$\mbox{GF}(2^3) = \{ 0, 1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \alpha^4, \alpha^5, \alpha^6 \}$$
   
   
   によって定義できることを示しなさい。

1. $a^j$ (mod 5)

   $a^j$	1	2	3	4
   2	2	4	3	1
   3	3	4	2	1
   4	4	1	4	1

   フェルマーの小定理（付録参照） $a^4 \equiv 1 \ (\mbox{mod }5)$ が成立していることがわかる。
   

2. $\alpha$は $\alpha^3 + \alpha^2 + 1 = 0$を満たす。 したがって
   
   $$\alpha^3 = - \alpha^2 - 1 = \alpha^2 - 1$$
   
   
   である。 この関係を使って$\alpha$のべきを順に求めると
   

   $$\alpha^0 = 1$$

   $$\alpha^1 = \alpha$$

   $$\alpha^2 = \alpha^2$$

   $$\alpha^3 = \alpha^2 +1$$

   $$\alpha^4 = \alpha^3 + \alpha = \alpha^2 + \alpha + 1$$

   $$\alpha^5 = \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha = \alpha + 1$$

   $$\alpha^6 = \alpha^2 + \alpha$$

   $$\alpha^7 = \alpha^3 + \alpha^2 = 1$$

   $$\vdots$$

   
   
   となるから、2次以下の$\alpha$の多項式すべてが0と$\alpha$のべきで表現できる。 したがって、 $\{ 0, 1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \alpha^4, \alpha^5, \alpha^6 \}$ は位数 8の体をなす。