§３ 整数
［Ｆ］公約数と公倍数 ... Euclid の互除法
［Ｈ］Ｋ進記数法
§４ 実数
［Ａ］ 実数の定義と諸法則
【今日の要点と補足】
まずは，ふたつの正整数の最大公約数を求める（オイラーではなく）ユークリッドの互除法の説明があった。
講義では途中を省略したが，p.19 にある練習問題Ｇの [2] (2) を実際に解いてみると次のようになる。ただし，% は剰余を求める演算子である。（p.17 のコメント参照）
GCD(1821, 3282) = GCD(3282 % 1821, 1821) = GCD(1461, 1821)
= GCD(1821 % 1461, 1461) = GCD(360, 1461)
= GCD(21, 360) = GCD(3, 21) = GCD(0, 3) = 3
なお，演習問題Ｇの [2] (3) は各自やってみよ。答は，GCD(36863, 156811) = 191 である。
Ｋ進記数法は通常は略してＫ進法という。Ｋ進法で表記された数を10進法に直す手順，およびその逆に，10進法で表記された数をＫ進法に直す手順をよく理解しておくこと。
コンピュータの中では２進法で数値を記憶している。しかし，２進法で数字を表記するとどうしても長くなる。例えば，2001 を２進法で書くと 11111010001 と11桁になってしまう。（└log2 2001┘ + 1 = 11 となることからも確かめられる。）そこで，この２進法で表示された数字を３桁ごとに区切り，２進３桁が８進１桁になることを利用して８進法で表示することも多い。また，２進４桁が16進１桁に対応するので，これを利用して16進法もよく用いられる。上の例の場合，次のようになる。
(2001)10 = (11111010001)2
= (11 111 010 001)2 = (3721)8
= (111 1101 0001)2 = (7D1)16
次は実数の話である。ここまで来ると，除法（割り算）が自由に使えることになる。乗法が定義され，逆数を使って除法を定義するストーリーは次のようになる。
『実数の世界では，乗法と除法，つまり掛け算と割り算も自由にできる。まず，積の結合法則から乗法における演算の順序は重要ではない。また乗法においては１という実数が特別な役割（積の単位法則）をはたすので，特に１を乗法における単位元という。実数 a の逆数を a-1 と書く。任意の実数とその逆数の積は単位元１になる。実は，任意の実数 a に対して，積が単位元１になるようなものを a の逆数と定義しているのである。実数 b と実数 a の逆数 a-1 の積を b と a の商といい，b÷a と書く。この演算が除法である。』
【今日の Quiz】
実数の集合の上で演算＊を x＊y = x + y + 1 と定義する。この演算＊の単位元は何か。
[１] このような２項演算が定義されたということは，ふたつの実数が与えられたらそれらの値から演算＊で新しいひとつの値を決める法則が定められたということである。（このような演算＊がどんな意味を持つかは，ここでは重要ではない。）例えば，4 と 2 からは 4＊2 = 4 + 2 + 1 = 7 なので 7 が演算結果としてえられる。2＊3 は 6 になるが，これはたまたま 6 になったということで，この演算＊は掛け算ではない。
[２] この演算＊の単位元を e と仮定しよう。そのとき，単位元はすべての実数 a に対して a＊e = a という等式を満たさなくてはいけない。左辺は演算＊の定義から a + e + 1 であるから，a + e + 1 = a ということになる。この式がすべての a について成立するのは e = -1 のときである。従って，演算＊の単位元は -1 である。
[３] ちなみに，この答が確かに単位元の性質を満たしているか確認してみよう。a＊(-1) = a + (-1) + 1 = a であり，(-1)＊a = (-1) + a + 1 = a なので，大丈夫である。
[４] 類似問題１：実数の集合の上の演算＠を x＠y = x + y + xy と定義したとき，この演算＠の単位元は何か。（単位元は 0）
[５] 類似問題２：実数の集合の上の演算＃を x＃y = x2 + y2 と定義したとき，この演算＃の単位元は何か。（実はこの演算＃には単位元は存在しない！）
【ひとりごと】
今日の授業で「この講義のホームページを見たことのある人」と言って挙手してもらったら，ほんの数人だけが手を挙げた。実際には見ていても手を挙げない人もいるのだろうけれど，多く見積もっても半分以下のようだ。「よしそれならば，見なければ損をするようにしてやろう...」という多少ひねくれた考えで，今回は類似問題を上に書いた。もちろん，この類似問題を試験に出すぞ...と言っているのではありませんので，念のため。