◎ 演習問題 pp.5-6 §４＆５ を配布
§４ 実数
［Ａ］ 実数の定義と諸法則 の後半
［Ｂ］ 分数
［Ｃ］ 小数
【今日の要点と補足】
最初に，今までに何度も繰り返してきた次のストーリーを説明した。
まず『（２項）演算』とは，ふたつの数から新しい数を作り出す法則である。次に，その演算に関して単位法則を満たす特別な要素を『単位元』と呼ぶ。（演算によっては単位元が存在しない場合もある。）もし演算が単位元をもつなら，各要素 x に対して x の『逆元』と呼ばれる要素を決めることができる場合がある。（演算の種類や要素によっては逆元を持たない場合もある。）
実数の集合の上で定義される加法や乗法について，上のストーリーを当てはめてみる。
まず実数の上の加法については，単位元は 0 である。実数 x の加法についての逆元は -x であり，これを講義ノートでは反数と呼んでいる。一方乗法については，単位元は 1 である。乗法についての逆元は x-1 であり，これは逆数のことである。ただし，加法の単位元 0 の逆数は存在しない。
次の話題は，おなじみの分数と小数である。よく知っている分数や小数を今更ながら難しく定義しているように思えるかもしれないが，我慢してじっくり講義ノートを読んでみてほしい。
有限桁で表現できる有限小数は，０でない最後の桁から１を減じて，その後ろに９を無限個並べた無限小数と考える。［ちょっと無理矢理という感じがする。例えば，100 は有限桁で表現されている数だが，これは 99.999… と考えなさいということである。］
このようにして有限小数を（無理矢理）無限小数にしてしまうと，無限小数で表現される数が実数であり，その無限小数が循環するときそれは有理数，循環しないときは無理数であるということになる。また循環小数は分数で表現できるので，有理数とは分数で表現できる数ということにもなる。
【今日の Quiz】
循環小数 0.0666…，1.2333…，0.1232323… を既約分数に直せ。
[０] この文章の中では，循環節を表す数字の上につける点や分数を横棒の上下に表記することはできないので，以下の計算式は多少見づらくなってしまうが，了解して欲しい。ここでは，循環節は同じものを３回繰り返しその後ろに『…』をつける。また，分数は『m／n』の形で書く。
[１] 0.0666…＝(1／10)×(0.666…)＝(1／10)×(6／9)＝..(途中省略)..＝ 1／15
[２] 1.2333…＝1.2＋0.0333…＝(12／10)＋(1／10)×(0.333…)
＝(6／5)＋(1／10)×(3／9)＝..(途中省略)..＝ 37／30
[３] 0.1232323…＝0.1＋0.0232323…＝(1／10)＋(1／10)×(0.232323)
＝(1／10)＋(1／10)×(23／99)＝..(途中省略)..＝ 61／495
[４] この種の問題のポイントは，循環する部分と循環しない部分をまず分離すること。次に，循環する部分を何倍（あるいは何分の１）かして，純循環小数を取り出し，純循環小数は Robertson の方法で分数に直す。あとは分数の計算を間違わずに行い，最後に約分を忘れないようにすればよい。
[５] 約分をおこなうとき，次のことを知っておくと便利である。（証明を試みてみよ！）
・２で割り切れるのは，一の位が偶数のとき（これは常識！ 理由は10が２で割り切れるから）
・３で割り切れるのは，すべての桁の数字の和が３で割り切れるとき
［例えば 123456 なら，1＋2＋3＋4＋5＋6＝21 だから３で割り切れる。562 なら，5＋6＋2＝13 だから 562 は３では割り切れない］
・４で割り切れるのは，下２桁が４の倍数のとき
・５で割り切れるのは，一の位が０か５
・６で割り切れるのは，偶数でかつ３の倍数のとき（これも当然！）
・８で割り切れるのは，下３桁が８の倍数のとき
・９で割り切れるのは，すべての桁の数字の和が９で割り切れるとき
・11で割り切れるのは，一・百・万・百万...の桁の数字の和と，十・千・十万・千万...の桁の数字の和の差が11の倍数のとき（０は11の倍数であることに注意）
［例：230154 なら，2＋0＋5＝7 であり，一方は 3＋1＋4＝8 なので，これらの差は１でこれは11の倍数ではない。従って，230154 は11で割り切れない。ところが 230153 は11の倍数である。また，4081 の場合は，4＋8＝12，0＋1＝1 で12と１の差は11の倍数なので，4081 は11の倍数である。］
[６] 上の知識を使って次の問題（講義ノート p.27 練習問題Ｄ [1] (5)）を解いてみよう。
0.076923076923076923…＝ 76923／999999 ... 76923 は９の倍数だから９で約分できる ...
＝ 8547／111111 ... 分子も分母もまだ３で約分できるぞ ...
＝ 2849／37037 ... 今度は11で約分できる ...
＝ 259／3367 ... ２ではダメ，３でもダメ，...，７で約分できる ...
＝ 37／481 ... 37は素数なので，あとは分母が37で割れるかどうか ...
＝ 1／13 ... これ以上の約分はできない！ ...
【今日のアンケート】
この授業を受けるために，およそ何時間ほど『自宅学修』をしているか？
Ａ：30分以内 Ｂ：30分〜１時間 Ｃ：１時間〜２時間 Ｄ：２時間以上
いつものように，情報システム工学科の１年生とそれ以外に分けて集計した。
［情報システム工学科１年生］
Ａ：45（55％） Ｂ：28（33％） Ｃ：７（８％） Ｄ：４（４％） 回答なし：１
［情報システム工学科１年生以外］
Ａ：11（53％） Ｂ：７（33％） Ｃ：３（14％） Ｄ：０（０％） 回答なし：０
【中間試験について】
当初の予定通り 11月６日(火) に中間試験を実施する。範囲は§１から４まで。§５の複素数は試験範囲から除外する。試験をする教室は２つを予定しているが，詳細は追って連絡する。
試験には『自作レジュメ』を１枚持ち込んでよい。大きさはＡ４用紙。何色を使ってもかまわない。ただし，ワープロ等の出力，コピーされたものはダメ。これらを持ち込んでいる場合は“単位認定試験における不正行為”とみなす。その場合は該当するクオーター（今回は第３クオーター）に履修登録されているすべての科目の単位が取り消される。11月６日の段階ではまだ成績は出ていないが，すべての科目の履修自体が無効になる。
このレジュメ（レジュメとは要約・概要というような意味。就職希望者の履歴書を
指すこともある）を自分で作成することに意味がある。友達が作ったものを書き写す
のではなく，自分で作ることが重要である。もちろん，友達が作ったものを見て，良
いところを参考にするのは問題ないだろう。