［第２回演習：関係と関数］

１．正整数の集合 N 上の関係 R を，等式 2x＋3y＝30 で定義する。すな わち，R＝{(x, y)：2x＋3y＝30} とする。次の問いに答えよ。

　(1) 関係 R に属する要素（正整数の順序対）をすべて列挙せよ。

　　　R＝{(3, 8), (6, 6), (9, 4), (12, 2)}　

　　　　← 正整数の集合上で考えているので (0, 10) や (15, 0) は入らない。

　(2) 関係 R の定義域，値域，および R の逆関係 R^-1 を求めよ。

　　　R の定義域＝{3, 6, 9, 12}，R の値域＝{8, 6, 4, 2}

　　　R^-1＝{(8, 3), (6, 6), (4, 9), (2, 12)}

２．正整数の集合 N 上の関係 E を『正整数 a と b の和が偶数のとき， aEb である』と定める。

　(1) 関係 E は同値関係であることを示せ。

○ どんな正整数 x であっても，x＋x＝2x なので和は偶数である。すなわち，す べての x について xEx であるから，関係 E は反射的である。

○ x＋y が偶数なら y＋x も偶数である。従って関係 E は対称的である。

○ x＋y が偶数でかつ y＋z も偶数であるとする。もし y が偶数なら x と z も 偶数であり，もし y が奇数なら x と z も奇数である。従って，いずれの場合でも x＋z は偶数になる。つまり推移的である。

　(2) 商集合 N／E を求めよ。

　　N／E＝［{1, 3, 5, ...}, {2, 4, 6, ...}］

　　すなわち，関係 E によってすべての正整数の集合 N は奇数の集合と 偶数の集合に分割される。

３．A＝{1，2，3，4}，B＝{a，b，c，d}，C＝{α，β，γ}，D＝{6，7，8，9} で あるとする。次のような関数 f，g，h，k を考える。

　　　f：A → B　　f(1)＝b，f(2)＝c，f(3)＝b，f(4)＝c

　　　g：B → C　　g(a)＝β，g(b)＝γ，g(c)＝α，g(d)＝γ

　　　h：C → D　　h(α)＝y，h(β)＝x，h(γ)＝z

　　　k：D → E　　k(x)＝9，k(y)＝7，k(z)＝6

　(1) ４つの関数のなかで，１対１（単射）であるのはどれか。［答：h と k］

　(2) ４つの関数のなかで，上への関数（全射）であるのはどれか。［答：g と h］

　(4) 関数 h の逆関数 h^-1 はどのような関数になるか。 h^-1 を上で関数を定義した形式で表せ。

　答　h^-1：D → C　　 h^-1(x)＝β， h^-1(y)＝α，h^-1(z)＝γ