［第１回演習：数の表記法］

１．次の数を10進法で表せ。

　(F1)₁₆ = 15×16¹＋1×16⁰ = 240＋1 = 241

　(401)₈ = 4×8²＋0×8¹＋1× 8⁰ = 256＋1 = 257

　(2002)₃ = 2×3³＋2×3⁰ = 54＋2 = 56

　(1001001)₂ = 1×2⁶＋1×2³＋1× 2⁰ = 64＋8＋1 = 73

２．自然数2002を２進法，８進法，16進法および７進法でそれぞれ表記せよ。

　2002 = (3722)₈ = (011 111 010 010)₂ = (0111 1101 0010)₂ = (7D2)₁₆ = (5560)₇

３．小数点をもった８進数表記 (13.3)₈ は，どんな10進法表記の実 数を表すと考えられるか。

答えを導いた過程も示せ。また，実数 0.4 の２進法表記を考えてみよ。

　(13.3)₈ = 1×8¹＋3×8⁰＋3× 8^-1 = 8＋3＋3×0.125 = 11.375

　0.4 = 0×2^-1＋1×2^-2＋1×2^-3＋0× 2^-4＋0×2^-5＋1×2^-6＋1×2^-7＋0× 2^-8＋...

　　　= (0.01100110011001100110..)₂ （以下，0110 が無限に続 く）

● このように，無限に続く小数を無限小数という。10進法で表記したら有限桁 であっても，

　２進法で表記すると無限小数になってしまうことがある。

● ところで，どうやって計算したらいいかを考えよう。

　まず，次のようになると仮定してみる。ただし，a，b，c，... は０か１であ る。

　　0.4 = a×2^-1＋b×2^-2＋c×2^-3＋d× 2^-4＋e×2^-5＋f×2^-6＋g×2^-7＋h× 2^-8＋...

この両辺を２倍すると，

　　0.8 = a×2⁰＋b×2^-1＋c×2^-2＋d× 2^-3＋e×2^-4＋f×2^-5＋g×2^-6＋h× 2^-7＋...

左辺は１より小さいので，a は１ではない。つまり a = 0 である。

さらに両辺を２倍すると，

　　1.6 = b×2⁰＋c×2^-1＋d×2^-2＋e× 2^-3＋f×2^-4＋g×2^-5＋h×2^-6＋ ...

左辺は１より大きいから，b = 1 である。そこで両辺から１を引いて，また両辺 を２倍する。

　　1.2 = c×2⁰＋d×2^-1＋e×2^-2＋f× 2^-3＋g×2^-4＋h×2^-5＋...

よって，c = 1 であることがわかる。次も両辺から１を引いてから２倍する。

　　0.4 = d×2⁰＋e×2^-1＋f×2^-2＋g× 2^-3＋h×2^-4＋...

よって，d = 0 である。また，このとき次式を得る。

　　0.4 = e×2^-1＋f×2^-2＋g×2^-3＋h× 2^-4＋...

この式は最初の式と同じである。従って，e = a = 0，f = b = 1，g = c = 1， h = d = 0，...

となり，以下 0110 が無限に続くことになる。

● 練習問題： 0.1，0.2，0.3，0.5，0.6，0.7 を２進法で表記してみよ。

［答］

　　　　0.1 = (0.0 0011 0011 0011 ...)₂　　0.2 = (0.0011 0011 0011 ...)₂　

　　　　0.3 = (0.0 1001 1001 1001 ...)₂　　0.5 = (0.1)₂　

　　　　0.6 = (0.1001 1001 1001 ...)₂　　　0.7 = (0.1 0110 0110 0110 ...)₂