［第４回演習：代数系］
１．(s, α) は，単位元が１で，S の要素 x の逆元が -x と表される群である。また (T, β) は，単位元が０で，T の要素 x の逆元が x-1 と表される群である。直積集合 S × T 上の ２項演算 Θ を
(s1, t1) Θ (s2, t2) ＝ (s1 α s2, t1 β t2)
と定義する。
(1) (S × T, Θ) は半群であることを示せ。
{(s1, t1) Θ (s2, t2)} Θ (s3, t3)
＝ (s1 α s2, t1 β t2) Θ (s3, t3)
＝ ((s1 α s2)α s3, (t1 β t2) β t3)
＝ (s1 α s2 α s3, t1 β t2 β t3)
(s1, t1) Θ {(s2, t2) Θ (s3, t3)}
＝ (s1, t1) Θ (s2 α s3, t2 β t3)
＝ (s1 α s2 α s3, t1 β t2 β t3)
∴ 結合法則を満たすので半群。
(2) (S × T, Θ) は単位元をもつ。単位元は何か。その根拠も示せ。
単位元は (1, 0)
任意の (s, t) ∈ S × T について
(s, t) Θ (1, 0) ＝ (s α 1, t β 0) ＝ (s, t)
(1, 0) Θ (s, t) ＝ (1 α s, 0 β t) ＝ (s, t)
(3) (S × T, Θ) は群である。S * T に属する任意の要素 (s, t) の逆元を示せ。その根拠も示せ。
(s, t) の逆元は (-s, t-1)
任意の (s, t) ∈ S × T について
(s, t) Θ (-s, t-1) ＝ (s α (-s), t β t-1) ＝ (1, 0)
(-s, t-1) Θ (s, t) ＝ ((-s) α s, t-1 β t) ＝ (1, 0)
２．実数の集合 R 上で定義された２項演算として
[a] x α y ＝ x + y - 2 [b] x β y ＝ x + y - xy [c] x δ y ＝ |x + y|
の３種類を考える。次の問に答えよ。
(1) (R, α) は半群である。結合法則が満たされることを示せ。
(x α y) α z ＝ (x + y - 2) α z ＝ x + y + z - 4
x α (y α z) ＝ x α (y + z - 2) ＝ x + y + z - 4
よって，(x α y) α z ＝ x α (y α z)
∴ 結合法則は満たされる。
(2) (R, β) は半群である。結合法則が満たされることを示せ。
(x β y) β z
＝ (x + y - xy) β z
＝ (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z
＝ x + y + z - xy - yz - zx + xyz
x β (y β z)
＝ x β (y + z - yz)
＝ x + (y + z - yz) - x(y + z - yz)
＝ x + y + z - xy - yz - zx + xyz
よって，(x β y) β z ＝ x β (y β z)
∴ 結合法則は満たされる。
(3) (R, δ) は半群ではない。結合法則を満たさない例を一組示せ。
x ＝ 0, y ＝ -1, z ＝ 1 のとき
(x δ y) δ z ＝ (0 δ (-1)) δ 1 ＝ |1 + 1| ＝2
x δ (y δ z) ＝ |0 + |-1 + 1|| ＝ 0
よって，(x δ y) δ z ≠ x δ (y δ z)
∴ 結合法則を満たさないので，半群ではない。
(4) (R, α) は単位元をもつ。単位元は何か。
x + e - 2 ＝ x
∴ e ＝ 2
(5) (R, β) は単位元をもつ。単位元は何か。
x + e - ex ＝ x
e(1 - x) ＝ 0
∴ e ＝ 0
(6) (R, α) は群である。任意の実数 x の逆元は何か。
x + x-1 - 2 ＝ 2
∴ x-1 ＝ 4 - x
(7) (R, β) は群ではない。逆元をもたない実数は何か。
x + x-1 - xx-1 ＝ 0
x-1 ＝ x / (x - 1) (x ≠ 1)
∴ 1 の逆元は存在しない