| ◎この講義の目標は二つ ... “代数系”と“ブール代数”を理解すること |
| ◎“代数系”の話はしなかったが，“２項演算”の具体例をいくつか示した。 |
演算とは，数の四則演算には限らない。
２項演算とは，２つの要素が与えられたらその演算結果を１つ定める規則である。
単項演算とは，１つの要素が与えられたらその演算結果を１つ定める規則である。
［例］
すべての実数の集合 Ｒ を考える。
Ｒ の任意の要素を２つ選んで，それらの和をただ一つ定めることが出来る。
これは，実数の上での加法と呼ばれる２項演算である。
２つの要素を x および y とするとき，その和を x＋y と書く。
Ｒ の任意の要素を x としたとき，x＋x'＝0 となる実数 x' がただ一つ定
まる。
このようにして x から x' を定める規則は単項演算の例である。
（実は，x'＝−x である。）
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◎２種類の２項演算＋と＊，１つの単項演算 x'，特別な要素 0 と 1 があっ
て，それらが次の法則を満たすとき，ブール代数であるという。 ただし，a， b，c は任意の要素である。 |
| [1] | (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，(a＊b)＊c＝a＊(b＊c) |
| [2] | a＋b＝b＋a，a＊b＝b＊a |
| [3] | a＋(b＊c)＝(a＋b)＊(a＋c)，a＊(b＋c)＝(a＊b)＋(a＊c) |
| [4] | a＋0＝a，a＊1＝a |
| [5] | a＋a'＝1，a＊a'＝0 |
| Quiz： |
| ブール代数の基本法則だけを用いて a＋a＝a となることを示せ。 |
| 解答： |
| a＋a＝(a＋a)＊1 ＝(a＋a)＊(a＋a') ＝a＋(a＊a') ＝a＋0 ＝a
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| 更に練習： |
| a＋1＝1 となることを示せ。 |
| 解答： |
| a＋1＝(a＋1)＊1 ＝(a＋1)＊(a＋a') ＝a＋(1＊a') ＝a＋(a'＊1) ＝a＋a' ＝1
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| 更に練習： |
| ブール代数では次の等式が成立する。チャレンジしてみよ！ a＊a＝a，a＊0＝0，a＋(a＊b)＝a，a＊(a＋b)＝a |