◎行列積の復習
ただ一つだけの要素が 1 で，他の全てが 0 であるベクトルを単位ベクトルという。
m × n 行列 A の左から m 個の列をもつ単位ベクトルを掛けると，行列 A の特定の行（単位ベクトルの要素が 1 の行）だけを取り出すことができる。同様に，A の右から n 個の行をもつ単位（列）ベクトルを掛けると，A の特定の列だけを取り出すことができる。
n 次正方行列で，各行各列に 1 が一つずつあり，他の全てが 0 である行列を置換行列という。
m × n 行列 A の左から m × m 型の置換行列を掛けると，A の行を入れ替えることができる。同様に，A の右から n × n 型の置換行列を掛けて，A の列を入れ替えることができる。
◎行列を HTML でうまく表現できないので，ここでは [1 2 | 3 4] のように書くことにする。この行列の１行目は (1 2)，２行目は (3 4) である。例えば，補充問題 4.33 (a) の３次正方行列を A とすると，A ＝ [2 1 1 | 0 5 -2 | 1 -3 4] となる。
この３次正方行列 A ＝ [2 1 1 | 0 5 -2 | 1 -3 4] の行列式は，テキスト79ページの公式とは別に，次のようにして計算することもできる。
まず，n 次正方行列 A の i 行目と j 列目を取り去った行列（これは (n-1)次正方行列になる）を A‹i, j› と書くことにする。上の例の場合は，A<1, 1> ＝ [5 -2 | -3 4], A<1, 2> ＝ [0 -2 | 1 4], A<2, 3> ＝ [2 1 | 1 -3] などとなる。
このとき，行列 A の行列式 det(A) は次のようにして計算できる。
det(A) ＝ a11 × det(A<1, 1>) − a12 × det(A<1, 2>) ＋ a13 × det(A<1, 3>)
＝ 2 × {5 × 4 − (-2) × (-3)} − 1 × {0 × 4 − (-2) × 1} ＋ 1 × {0 × (-3) − 5 × 1}
＝ 2 × 14 − 2 ＋ (-5)
＝ 21