＊お断り：HTMLで行列をうまく表現する方法を知らないので，ここでは２×２行列を A ＝ [a b | c d] と書くことにする。このように表現された行列 A は，11-成分＝a，12-成分＝b，21-成分＝c，22-成分＝d であるものとする。
１．A ＝ [-3 -2 | 7 5] とする。次の問に答えよ。
(1) A の行列式 |A| および逆行列 A-1 を求めよ。
【解答】
|A| ＝ (-3) × 5 − (-2) × 7 ＝ -1
A-1 ＝ (1 ／ (-1))[5 2 | -7 -3] ＝ [-5 -2 | 7 3]
(2) A2 および |A2| を求めよ。
【解答】
A2 ＝ [-3 -2 | 7 5][-3 -2 | 7 5] ＝ [-5 -4 | 14 11]
|A2| ＝ (-5) × 11 −(-4) × 14 ＝ 1
『確認：|A|2 ＝ (-1)2 ＝ 1 ＝ |A2|』
(3) f(x) ＝ x2 − 2x ＋ 3 とする。f(A) を求めよ。
【解答】
f(A) ＝ A2 − 2A ＋ 3I ＝ [-5 -4 | 14 11]−2[-3 -2 | 7 5] ＋ 3[1 0 | 0 1]
＝ [-5 -4 | 14 11] ＋ [6 4 | -14 -10] ＋ [3 0 | 0 3] ＝ [4 0 | 0 4]
(4) A が零点となる２次多項式 g(x) を見つけよ。
【解答】
(3)の結果から，f(A) ＝ A2 − 2A ＋ 3I ＝ 4I である。従って，A2 − 2A − I ＝ 0 となる。この式より，g(x) ＝ x2 − 2x − 1 とすれば，g(A) ＝ 0 となり，A は g(x) の零点になる。
２．n 個の要素をもつ行列 A ＝ {a1, a2, ..., an} 上で定義された関係 R を考える。R の行列 MR ＝ (mij) は n 次の正方行列で，その ij-成分 mij は，(ai, aj) が R に含まれるとき mij ＝ 1，(ai, aj) が R に含まれないとき mij ＝ 0 として定められる。
(1) S ＝ {1, 2, 3, 4, 5} であり，S 上の関係 R が R ={(i, j): i は j 以上} であるとき，R の行列 MR を求めよ。
【解答】
MR ＝ [1 1 1 1 1 | 0 1 1 1 1 | 0 0 1 1 1 | 0 0 0 1 1 | 0 0 0 0 1]
(2) A = {a1, a2, a3, a4} 上で定義された関係 R ={(a1, a1), (a1, a2), (a1, a4), (a2, a3), (a3, a2), (a3, a4), (a4, a4)} の行列 MR を求めよ。
【解答】
MR ＝ [1 1 0 1 | 0 0 1 0 | 0 1 0 1 | 0 0 0 1]